Мой старый приятель стал поэтом. Для математики у него не хватило воображения.
__________
Давид Гильберт
23 января 1862 года родился Давид Гильберт, выдающийся немецкий математик-универсал. Разработал широкий спектр фундаментальных идей во многих областях математики, в том числе теорию инвариантов и аксиоматику евклидовой геометрии. Сформулировал теорию гильбертовых пространств, одну из основ современного функционального анализа.
ГИЛЬБЕРТ (Hilbert) Давид (23 января 1862, Кенигсберг – 14 февраля 1943, Геттинген)
Окончил университет в Кёнигсберге (1885). В 1893–95 – профессор этого университета. С 1895 и вплоть до выхода в отставку (1930) – профессор Геттингенского университета. Среди достижений Гильберта в области философии науки наиболее значительны два: во-первых, разработанная им современная, абстрактная, версия аксиоматического метода и, во-вторых, созданная им, в развитие предыдущей идеи, новая ветвь оснований математики – теория доказательств, или метаматематика.
Гильберт неоднократно подчеркивал высокую педагогическую и эвристическую ценность генетического метода построения научных теорий. И тем не менее он полагал, что для окончательного оформления и полного логического обоснования всего, что содержится в нашем познании, более предпочтителен метод аксиоматический. Анализу и развитию этого метода Гильберт и посвятил основные свои усилия. Он первым отказался от попыток, предпринимавшихся еще со времен Евклида, давать основным терминам аксиоматизируемой теории содержательные определения. Гильберт последовательно провел в жизнь точку зрения на аксиомы как на условия, налагаемые на исходные понятия теории. Требуя, чтобы в процессе развертывания аксиоматизированной теории использовались лишь те сведения о ее понятиях, которые либо непосредственно почерпнуты из аксиом, либо чисто логическим путем формально выведены из них, он стал трактовать аксиоматику теории как единое явное определение ее понятий (Гильберт подчеркнул это в одном из своих писем к Г.Фреге). Такой вариант аксиоматического метода был положен уже в основу его «Оснований геометрии» (1899), где впервые дана полная, не содержащая никаких подразумеваемых предположений аксиоматика евклидовой геометрии.
Принятая Гильбертом точка зрения в то время позволила ему добиться существенных продвижений в исследовании системы геометрических аксиом. Но сегодня в этой работе более всего поражает тот факт, что он во многом предвосхитил в ней многие черты структурализма 20 в. и значительную часть «идеологии» машинной математики. В самом деле, занимаясь геометрией «в духе Гильберта», человек в определенном отношении попадает в ситуацию, сходную с компьютерной. Он имеет право (но отнюдь не обязан!) понимать то, что он при этом делает. И как это на первый взгляд ни странно, в принципиальном плане это даже ставит его в выгодное положение, избавляя, в частности, от ошибок, всегда возможных при попытке «проявить инициативу» в осмыслении того, что от него требуется: нетрудно понять, что и в самом деле идеально общепонятным может быть лишь то, что вообще не требует никакого понимания.
Можно не обратить внимания на то, что Гильберт никоим образом не доказывает истинность геометрических теорем; он всего лишь логически выводит их из принятых в ней аксиом (вопрос об истинности которых им вообще даже и не ставится). Изложенная точка зрения нашла замечательное по своей глубине использование в его более поздних (1922–30) исследованиях по основаниям математики. Работы эти были созданы в ходе попыток преодоления острого кризиса, вызванного трудностями, обнаружившимися в теоретико-множественной «архитектурной программе для математики», и впоследствии были подытожены в классической двухтомной монографии Гильберта и его ближайшего сотрудника П.Бернайса «Основания математики» (1-й т. 1934, 2-й – 1939). Как известно, Гильберт остро реагировал на противоречия, обнаруженные в канторовой теории множеств Б.Расселом и Э.Цермело, но он отвергал и альтернативную программу Л.Э.Я.Брауэра (см. Интуиционизм). В противовес реформаторской программе последнего Гильберт предложил свою, консервативную, программу, основанную на изложенном выше варианте аксиоматического метода и на идее трактовать «законность» любой математической теории как ее внутреннюю непротиворечивость.
Программа Гильберта, в главных чертах изложенная в докладе «О бесконечном», предусматривала, во-первых, аксиоматизацию всех без исключения математических теорий (в т.ч. и множеств теории); во-вторых, установление непротиворечивости всех полученных аксиоматик и, в-третьих, дальнейшее развитие построенных теорий на чисто дедуктивной основе с использованием аристотелевской логики. При таком подходе и аксиомы, и утверждения конкретной теории описывались Гильбертом простыми и наглядными средствами – конструктивными объектами, имеющими точную синтаксическую структуру. Формализация логики открывала возможность придать аналогичный прозрачный, чисто синтаксический характер и самому понятию математического доказательства, а непротиворечивость теории трактовалась как невозможность одновременного получения в ней доказательств двух таких утверждений, что одно из них является отрицанием другого. Новаторской чертой этой программы Гильберта была ее чистая синтаксичность и отсутствие в ней какой бы то ни было апелляции к такой привычной для любого ученого, тем более для математика или философа, категории, как категория смысла.
Для осуществления второго пункта своего плана Гильберт набросал эскиз т.н. «финитной установки» (см. Финитизм) – перечня средств (он называл их финитными), представлявшихся ему особо надежными и относительно которых он полагал, возможно не вполне правомерно, что они создают предпосылки для достижения «консенсуса» с интуиционистами. К сожалению, в достаточно подробном виде эта установка никогда Гильбертом изложена не была. Есть все основания полагать, что для ее «доработки» ему недоставало точного понятия алгоритма, которое в окончательном виде было выработано в математике лишь к 1936.
При всей на первый взгляд перспективности программы Гильберта ее реализация уже с первых шагов столкнулась с непредвиденными трудностями. Первый серьезный урон был нанесен ей открытием К.Гёделя, показавшего (1931), что неполна (и даже принципиально непополнима!) любая непротиворечивая аксиоматизация уже элементарной арифметики натуральных чисел. Между тем, по замыслу Гильберта, именно она, «это чистейшее, – по его выражению, – и наивнейшее дитя человеческого духа», должна была первой пройти «проверку на непротиворечивость». Впервые решение этой задачи было опубликовано (1936) Г.Генценом, которому уже здесь пришлось вполне отчетливым образом выйти за рамки финитной установки. Это был второй удар, нанесенный теории доказательств. И хотя главные надежды этой теории возлагались на доказательство непротиворечивости математического анализа (по мнению ближайшего сотрудника Бернайса, именно ее решение должно было вынести «окончательный приговор судьбе теории доказательств»), эта задача и особенно важная задача установления непротиворечивости аксиоматической теории множеств до сих пор остаются нерешенными.
Т.о., на своем «главном направлении» гильбертовская теория доказательств потерпела поражение (возможно, впрочем, ее постигла общая судьба всех слишком общих программ), но зато она принесла обильные плоды на ее «периферии», составившие целую эпоху в области оснований математики. В первую очередь, это работы (Геделя и др.) по неполноте аксиоматик (арифметики и теории множеств), работы, приведшие к возникновению математически точного понятия алгоритма, исследования А.А.Маркова по конструктивной математике (см. Конструктивные направления), сделавшие впоследствии эпоху в развитии логики работы Брауэра и его школы, проходившие в очной и заочной полемике, тоже принесли свои плоды уже хотя бы потому, что полемика с таким оппонентом, как Гильберт, сама по себе не могла оказаться непродуктивной для ее участников.
Н.М.Нагорный
